Álgebra Renacentista

Brahmagupta

645

Aparece el primer matemático hindú que utiliza consciente mente la numeración decimal, Brahmagupta quien fue una matemático y astrónomo indio. Pero en esta época no se ha generalizado la numeración decimal en la India.

Obispo Severo Sebokht

662

En una carta del obispo Severo Sebokht a un colega suyo de Occidente, en la cual se burla de la autosuficiencia de los occidentales, que creen que están muy avanzados, cuando realizaban operaciones con dificultad mientras que los hindúes lo hacen fácilmente con solo diez símbolos.

Mohammed Ibn Musa Al-Khowarizmi

780

Floreció el matemático que recordamos continuamente en las palabras “algoritmo” y “guarismo” Mohammed Ibn Musa Al-Khowarizmi, quien fue matemático astrónomo y geógrafo, persa musulmán, escribió hacia el año 830 el libro que dio nombre al algebra: “Al-gebr w’al-muqabalah”. En el cual no se utiliza símbolos “algebraicos” no tampoco la llamada “numeración arábiga”

Alcuino de York (735-804 )

785

Fue un teólogo, religioso, filosofo, gramático, matemático, erudito y pedagogo anglosajón, el ministro de Educación del emperador Carlomagno, se preocupó por que todas las escuelas enseñaran aritmética, además de cantos y los salmos y de la lectura, la escritura y la gramática y es uno de los que afirma los números perfectos.

Los astrónomos árabes

800

Los astrónomos árabes adoptan la numeración hindú, y es a través de los árabes que llega a Europa.

Números negativos no aceptados

Period: 800 to 1300

En este periodo los números negativos, no son aceptados por los árabes como coeficientes ni como raíces de ecuaciones. Esta falta de aceptación viene desde Diofanto, pues admitían solo soluciones positivas, las raíces negativas resultaban difíciles de interpretar adecuadamente en relación con lo problemas que permitían resolver.

Los monjes peregrinos

900

Introducen en Europa tímidamente, dos manuscritos: El Codex Vigilianus y el Codex Sankt-Gallensis.

Abul-wefa (940-998)

960

Fue un matemático y astrónomo persa, vivió en Bagdad, inventó nuevos métodos de calcular los senos y cosenos y es el que se le atribuye la tangente.

El monje Gerberto de Aurillac (940-1003)

970

El monje Gerberto de Aurillac, quien llegaría a ser papa Silvestre trata de introducir los números arábigos para los cálculos del calendario y de la fecha de la pascua. Escribió el primer artículo científico sobre aproximaciones a la fórmula del área de un triángulo. Escribió “Libellus de Divisione” y una “ Regula Abaci” en la que describe el ábaco.

Maslama ibn Ahmed Al-Madjriti

1007

También se le atribuye la introducción a la tangente a Maslama ibn Ahmed Al-Madjriti, un poco antes de Abul Wefa.

Miguel Psellus (1018-1078)

1050

Miguel Psellus de Bizancio, es independiente del álgebra árabe y tomando la aritmética y el álgebra donde lo dejo Diofanto de Alejandria a fines del siglo III, es el primero en hacer una lista de las potencias que permiten una sistematización de los exponentes.

Juan de Sevilla

1050

1000-1100 tambien empezaron a reunirse las culturas europea y árabe esto hizo posible el flujo de eruditos y curiosos de los países europeos a las ciudades fronterizas del imperio árabe.Juan de Sevilla era uno de los más inteligentes traductores quien cumplió un “Liber Algorismi”

“tablas alfonsinas”

1085

Se reúnen los manuscritos, los instrumentos y los sabios que prepararon la época dorada de Alfonso el sabio, y las “tablas alfonsinas”

Los astrónomos árabes que viven en las cortes de España

1100

Conocen la numeración arábiga, pero no se extendía.

Bashkara en la India

1100

• 1100 aparece Bashkara en la India, en el cercano oriente Omar Khayyám quienes son testigos de la buena utilización de los diez símbolos que permiten hacer fácilmente las operaciones numéricas.

Omar Khayyám (1045-1123)

1100

Suele mencionarse cuando se trata de la solución de las ecuaciones cubicas, esto es por medio de solución a casos particulares de ecuaciones cubicas por intersección de cónicas la cual proviene de los griegos.

Platón de Tívoli

1116

Conocía el árabe y el hebreo, tradujo el libro sobre las áreas del judío barcelones Abraham Savasorda, este es una fuente importante para Fibonacci.

Jabir Ibn Aflah de Sevilla (1100-1150)

1125

Quien fue llamado Geber o Al-Geber fue el principal astrónomo de la corte de Sevilla. Se llegó a creer que la palabra “algebra” provenia del nombre de”Al-geber. Escribió nueve libros de astronomía, en el primero de ellos desarrollo ampliamente la trigonometría.

Adelardo de Bath

1143

Adelardo de Bath traductor inglés, y Roberto de Chester traductor también, traducen a Al-Khowarizmi.

Gerardo de Cremona

1145

Uno de los más fecundos traductores, quien traduce mas de setenta manuscritos astronómicos, médicos y literarios de la Grecia Antigua y la Arabia feliz.

Números negativos no son aceptados como coeficientes y raíces de ecuaciones

Period: 1170 to 1250

En este lapso de Tiempo se da la presencia de un autor importante, quien es Leonardo de Pisa conocido como Fibonacci, y es quien anticipa alguna observación sobre la dificultad de aceptar raíces negativas.

Maximo Planudes

1200

Introduce la numeración de posición con los símbolos literales griegos para los números del uno al nueve introduciendo para el cero una “hache” invertida.

Guillermo de Moerbekke (1215-1286)

1200

Quien traduce varias obras de Arquimedes,pero se haría celebre por sus traducciones de aristoteles.

Leonardo de Pisa "Fibonacci"

1202

Aparece el manuscrito intitulado “Liber Abaci” de Leonardo de Pisa quien fue un matemático italiano que fue llamado “Fibonacci” y fue este nombre el que paso a la historia, el libro aporta técnicas de cálculos, con numeración arábiga.

Jordanus Nemorarius (1200- 1236 )

1215

Aparece Jordanus Nemorarius, nació cerca de Paderborn, estudio en París y escribió una aritmética en diez libros que aparecen fragmentariamente en muchos manuscritos, se le atribuye el primer libro aritmético que intenta dar demostraciones de la validez de los métodos algorítmicos, el “Algorismus Demonstratus”.

“La práctica de la Geometría”

1220

Fibonacci escribe “La práctica de la Geometría” influenciada por “Liber Embadorum” de Abraham Savasorda.

“Libro de los cuadrados”

1225

Fibonacci escribió el libro “Libro de los cuadrados” el cual cuenta con una traducción árabe lo cual vincula a Fibonacci con la tradición árabe.

Juan de Sacrobosco

1230

Aparece el tratado “Libro del Algorismo” de Juan de Sacrobosco quien fue un monje astrónomo y científico influyente en el mundo occidental

Tomas de Aquino (1225-1274)

1250

Teólogo y filósofo católico perteneciente a la Orden de predicadores el principal representante de la enseñanza escolástica, es condenado por el Obispo de París por sus innovaciones.

Federico II Hohenstaufen

1250

Es quien reina en Alemania el emperador Federico II Hohenstaufen, quien hace traducir numerosas obras del árabe y convoca a sabios y artistas de la época. Quien llama a Fibonacci para que resuelva una ecuación cubica.

“Tratado del Arte de Contar” y “La esfera”

1256

Aparece “Tratado del Arte de Contar” y “La esfera” también de Sacrobosco antes de morir; estas obras aparecen muy frecuentemente copiadas más que las de Fibonacci.

Alfonso X el sabio

1260

(1252-1284) Alfonso X el sabio resume para los cronistas de reyes y batallas todo el esplendor del PEQUEÑO RENACIMIENTO español, al lado aparece las tablas Alfonsina que alimentará la astronomía europea.

Johannes Campanus de Novara

1260

Fue un matemático astrónomo, astrólogo hace la primera edición manuscrita latina de Euclides

Raimundo Lulio

1275

Aparece Raimundo Lulio o conocido como “El doctor iluminado” quien escribe un libro llamado “ Ars magna et Ultima” que traduce a “ El Arte general y el ultimo”.

"Algorismo"

1300

Se empieza a conocerse el calculo numérico con el nombre de “algorismo” que se considera vulgarización fonética de Al-khowarizmi.

IL TRATTATO D' ALGIBRA como libro avance de nombres especiales.

Period: 1300 to 1400

Al IL TRATTATO D' ALGIBRA, se le atribuye la introducción de nombres especiales para la incógnita y sus potencias, resolviendo ecuaciones del tipo lineales, cuadráticas, y sistemas de algunas ecuaciones cúbicas y cuárticas, se aceptan números racionales e irracionales cuadrático, pero los números negativos siguen sin ser aceptados.

Tomas Bradwardine de Centerbury

1328

Escribe un tratado de las proposiciones, se convierte en “Doctor Profundus” y escribe un tratado del continuo “Tratatus de Continuo”, su geometría tiene un aparte interesante sobre los polígonos estrellados inscritos en la circunferencia, pero lo más notable es el intento de extender la idea proporcionalidad mas allá de la clásica, al encontrar que esta proporción simple no siempre se cumplía, a través de experimentos(No se limitó).

Juan de Meurs (1310-1360)

1340

Es quien cultivo la aritmética, la astronomía y la música, se le atribuye una aritmética especulativa en dos libros.

Nicolás Oresme (1323-1382 )

1350

Quien escribe un tratado sobre las amplitudes de las Formas, y dos manuscritos sobre las proporciones, es el primero en reconocer la suma infinita ½+2/4+3/8+4/16+….+n/2^n+…. Quien afirma que es 2. Además, es el que atribuye una invención de unos operadores equivalentes a nuestros exponentes fraccionarios, hasta ese momento solo se abreviaba la raíz cuadrada como Radix.

Avances

1400

La imprenta y la difusión de las aritméticas impresas marcaran el triunfo definitivo de la numeración arábiga. Pero en la India y en los países árabes ya esta sólidamente establecida.

“almagesto”

1400

Sucede la caída de Bizancio y la migración de nobles, ricos, eruditos hacia tierras seguras vuelve a unir la tradición matemática, al igual otros invasores aprovechan toda la ciencia astronómica y matemática helénica y las tablas de Ptolomeo son copiadas y enviadas a observaciones de las cortes, solo se conocen por sus traducciones árabes y de allí el nombre de “almagesto”.

Al-kashí(1380-1436)

1400

Utiliza fracciones decimales y encuentra raíces aproximadas de ecuaciones por el método que conocemos hoy como el método de Horner.

Algebristas del 1500

Period: 1400 to 1526

Los matemáticos comprendieron que la imposibilidad de resolver ciertas ecuaciones de tercer grado dependía del campo numérico que resultaba incompleto, es decir no se presentaban los elementos necesarios para expresar la solución. En este se da la introducción de abreviaturas para la incógnita, sus potencias y algunas relaciones, aparecen los tipo de ecuaciones de los primeros cuatro grados. Por ende en la formula del Ferro-Tartaglia no se ofrece la posibilidad de encontrar una raíz positiva.

Nicolás de Cusa (1401-1464)

1430

Quien es conocido por su crítica y su teología negativa fue llevado a estudiar la cuadratura del círculo, pensando que el circulo está compuesto por un polígono con infinitos lados, por ende trato de triangular el circulo.

Johannes Gutenberg

1440

Fue un orfebre alemán, inventor de la prensa de imprenta, completa la primera imprenta de tipo movible.

Gutenberg imprime el primer libro.

1447

La limitación insalvable de la literatura manuscrita estaba rota

Georg Von Peuerbach (1423-1461)

1450

Fue discípulo de Nicolas de Cusa, además fue profesor de astronomía en Viena, en donde se conocen algunos manuscritos de aritmética y geometría, disciplinas que se veía obligado a enseñar como requisito para la astronomía.

Juan Regiomontanus

1450

Discípulo de Georg Von Peuerbach, refutaba a Nicolás de Cusa, fue secretario del erudito Cardenal Bessarión, pudo establecer un observatorio y una imprenta en Nuremberg, tuvo acceso a los manuscritos antiguos y se preparó para hacer ediciones de las obras importantes.

Leonardo Da Vinci

1453

Cae Constantinopla en poder de los turcos, los emigrantes aportan los conocimientos y los manuscritos griegos. Aparece Leonardo Da Vinci, comienza su multiforme producción artística, técnica y científica.

Importantes cuatro libros de Regiomintanus

1464

Regiomontanus escribe cuatro libros acerca de la clasificación de triángulos y utiliza los números 100.000,600.000 y hasta 600’000.000, siguiendo los métodos árabes popularizados en Europa. Pero empieza a utilizar una serie de abreviaturas que desarrollan casi simultáneamente en toda Europa. Por ejemplo ~gr.35.m.17 para expresar 35 grados y 17 minutos. Además trasciende en algunas notaciones como et =+ y el – con una m y un arco encima de ella. .

Regiomontanus

1469

Edita el “Almagesto de Ptolomeo” y después el “Epitome” que fue conocido por todos los astrónomos de Europa.

“Aritmética de Treviso”

1472

Aparece la primera aritmética impresa llamada “Aritmética de Treviso” de autor anónimo.

“Acerca de la aritmética y la geometría militar”

1472

Aparece “Acerca de la aritmética y la geometría militar” como libro segundo de los “Doce libros de Asuntos militares” de Robertus Vulturius de Rimini.

Primera edición impresa de los Elementos de Euclides

1482

Aparece la primera edición impresa de los Elementos de Euclides y la primera aritmética impresa en suelo alemán.

Forma de realizar la multiplicación y la división

1483

Se observa la manera de multiplicación y división árabe quien tiene gran parecido a la de nosotros hoy en día.

Nicolas Chuquet

1484

Aparece en Francia una obra manuscrita de Nicolas Chuquet quien fue un francés, utiliza la abreviatura “radix” a Rx. a la primera raíz y la raíz cuadrada como Rx^2, para raíces añadidas una línea por debajo, y para el signo igual, abrevia“egaul”.Se da un paso importante la utilización de los números negativos aislados, el signo menos se utilizaba solo para la resta de dos números, el de la derecha menor que el de la izquierda, y es él primero en encontrar la solución con un número negativo.

Pietro Borghi

1484

Aparece en Italia la aritmética de Pietro Borghi, conocido por un tratado matemático comerciante titulado “Aritmetica”.

Johann Widman

1489

En Alemania aparece la primera aritmética impresa que utiliza los signos + y – para “La suma y la resta, denotándola hábil y hermosa para actividades comerciales” de Johann Widman quien era un matemático alemán

Johann Widman

1490

Publica “El algorismo de los enteros”

La aritmética de Filippo Calandri.

1491

En Italia aparece la aritmética de Filippo Calandri.

Georg Von Peuerbach

1492

Aparecen las obras de Georg Von Peuerbach

Luca Pacioli 1445 es un fraile toscano, nacido en el Borgo

1492

Venecia, bajo el título “Summa de aritmética geometría proportioni et proportionalita”, este conoce los métodos y las obras de los contabilistas y mercaderes, lo sintetiza en la “Summa” abreviaturas mínimas de 1 o 2 letras. Se cree que notar la incógnita como x, viene de la Summa pues expresaba Rx la incógnita. se le atribuye la x utilizada al multiplicar,es el primero al que se le atribuye el uso de 2 variables a una se le llama “cosa”, a la segunda “cantidad”, con un problema de agrupación.

Importancia de los métodos aritméticos

1500

Aparecerían bastantes aritméticas impresas, al mismo tiempo que algunos libros sobre problemas de medidas y negocios que muestran la necesidad de propagar los métodos aritméticos con fines comerciales.

Scipio del Ferro

1506

Descubre la manera de resolver todas las ecuaciones cubicas del tipo x^3+ax=n, con a y n enteros positivos.

Jakob köbel de Heidelberg condiscípulo de Copernico

1514

Aparece en Alemania, Jakob köbel de Heidelberg condiscípulo de Copernico, quien publica una aritmética que alcanzaría 22 ediciones, “Rechenbiechlin” o “Librito de Computo”.

Juan de Gamundía (1380-1442)

1515

Es el primer profesor que enseño exclusivamente matemática en Austria sus tratados fueron publicados en 1515.

“ Un nuevo Libro Artificioso”

1518

Aparece en Nuremberg y Viena “ Un nuevo Libro Artificioso” escrito por Heinrich Schreiber, es un libro que introduce nueva terminología para las potencias, pasa de co, ce, cu a pri, se, ter.

Francesos Ghaligai

1521

Aparece Francesos Ghaligai con su libro “ Practica d’Arithmetica” florentino, este utiliza un cuadrado para expresar el cuadrado de una potencia, para el cubo, dos cuadrados,para la raíz cuadra utilizaba un cuadrado dentro Rx y enseguida otro cuadrado, usa también para la igualdad una línea prolongada ______________

Christoff Rudolff

1525

Aparece en Estrasburgo un libro que se considera como el primer texto dedicado exclusivamente al algebra que aparece en imprenta se titula “ Hábil y hermosa computación a través de las artificiosas Reglas de Algebra así llamada comúnmente la Cosa” de Christoff Rudolff, es el primero en usar un símbolo para la raíz parecido al de nuestros días v, para la incógnita un símbolo parecido a la x, también para las potencias crea nueva simbología.

Del Ferro revela el secreto de la resolución de ecuaciones cúbicas

1526

Del Ferro revela el secreto a su discípulo Antonio Maria Fior y a su yerno Annibale della Nave.

Bombelli acepta los números negativos.

Period: 1526 to 1572

Este autor definió las reglas de cálculo con las irracionalidades cubicas y con los números complejos, pero los matemáticos de la época no los aceptaban como "números" verdaderos, es decir, como objetos abstractos , al igual acepta los números negativos, introduce una notación particular para las potencias y las relaciones de uso frecuente

Peter Bienewitz

1527

Aparece la computación de Peter Bienewitz, en el que aparece el triángulo de coeficientes del binomio.

"Tartaglia" Niccolò Fontana

1530

Aparece Tartaglia quien es conocido por su habilidad como algebrista y abaquista por su mal genio y su arrogancia, por su trabajo en artillería y trayectorias balisticas y por su libro “La nova Scientia”

Fior le propone a Tartaglia resolver las ecuaciones que había resuelto del Ferro antes de morir.

1535

Fior le propone a Tartaglia resolver las ecuaciones que había resuelto del Ferro antes de morir,Tartaglia re descubre el método y las resuelve.

Cardano y Ludovico Ferrari

1539

Aparece Cardano en Milán con su discípulo Ludovico Ferrari, quien se hace famoso por su libro “Practica de la Aritmetica”. Tartaglia ve su fama y lo visita pensando que le ayudaría a conseguir un puesto de asesor de fortificaciones y balística del gobernador, revelando el secreto de cómo resolver las ecuaciones del tipo x^3+ax=n. Cardano publica el método a través de un libro y lo hace parecer propio.

Francois Viete acepta las raíces complejas.

Period: 1540 to 1603

Es uno de los autores que dan un soporte geométrico y algebraico de la resolución de problemas expresados mediante formulas, acepta números reales y complejos.

Cardano viaja con su discípulo a Bolonia

1543

Cardano viaja con su discípulo a Bolonia y de se encuentra con Annibale della Nave, quien muestra los manuscritos de su suegro del Ferro, allí no solo estaba la fórmula que Tartaglia le mostró sino su demostración.

Ferrari estudia las demostraciones dadas del Ferro acerca de las ecuaciones cúbicas.

1544

Ferrari estudia estas demostraciones y más tardar encuentra la solución de la cuartica.

Michael Stifel (1487-1567)

1544

Fue un matemático alemán,fue un monje agustino, se adhirió al luteranismo, realizando una predicción acerca del fin del mundo, su fracaso lo llevo a estudiar aritmética y al algebra. Se considera el mejor “cossita”. había publicado su “Arithmetica Integra” en Nuremberg.

“Ars Magna”

1545

Fue impreso en Nuremberg por Juan Petreius “El gran Arte” conocido universalmente como “Ars Magna” donde están extendidos los resultados a todas las cubicas y cuarticas.
En este se observa la manipulación del símbolo radica como Rx a/b=Rx a/Rx b, propiedades de la raíz, para Cardano siempre se expresaba números estrictamente positivos. se resaltan aspectos como el temor por los números negativos produce un bloqueo geométrico

Michael Stifel publica

1545

Publica “Aritmética alemana”.

Stifel

1546

publica tres libros de aritmética y algebra

Disputa en Milán entre Ferrari y Tartaglia.

1548

Se lleva una disputa en Milán entre Ferrari y Tartaglia, no se sabe el resultado, pero al parecer no fue favorable para tartaglia.

Publicaciones de Stifel

1554

Stifel alcanza a publicar tres ediciones del algebra de Christoff rudolff. Le añade varios comentarios de su propia cosecha y publica las reglas para las cubicas, tomadas de Cardano, admite coeficientes nulos y negativos, pero no los acepta como soluciones de ecuaciones. Introduce la palabra “exponente” y presenta las primeras ecuaciones exponenciales, asociando progresiones aritméticas a sus geométricas.

“La parte oculta de los números que llaman algebra”

1554

Aparece en Francia el libro “La parte oculta de los números que llaman algebra” de Jacques Pelletier, influenciado por Cardano

“General Trattato di Numeri et Misuri”

1556

Tartaglia publica el primero de los seis volúmenes del “General Trattato di Numeri et Misuri” en Venecia, en este se utiliza ya el simbolismo sincopado con mucho mayor profusión que en las anteriores.

Muerte de Tartaglia

1557

Se cree que Tartaglia entrego su material a editores y murió, pues no aparece sino hasta 1560, aquí se ve que deja de ser secreto el método de soluciones de ecuaciones y empieza a ser público el conocimiento.

Robert Recorde(1510-1558)

1557

Publica en Londres “ La piedra de Toque del Ingenio” en el que utiliza los signos de la raíz cuadrada y cubica que introdujo Rudolff y demuestra conocer los métodos algebraicos italianos, introduce el signo igual con dos rayas horizontales paralelas, aunque son más largas a las usadas hoy en día.

“Opus Novum de Proportionibus” y “Regula Aliza”.

1570

Aparece en Basile las ultimas obras de Cardano “Opus Novum de Proportionibus” y “Regula Aliza”.

Rafael Bombelli

1572

Aparece en Venecia el álgebra de Rafael Bombelli, a este se le atribuye la utilización de los números complejos con la operatoria que hoy conocemos como combinaciones lineales con coeficientes positivos de cuatro elementos a 1,-1,i,-i, refiriéndose como “números sofisticos”, también se le da el uso de signos de agrupación para evitar ambigüedades, además de denotar los exponentes dentro de un ovalo.

François Viète (1540-1603)

1579

Aparece Vieta un matemático francés, quien publica su “Canon mathematicus seu ad Triangula cum Appendicibus” en el que aplica el algebra a la solución de problemas trigonométricos, estudia a Diofanto, a Cardano y a Bombelli.

Vieta utiliza la palabra coeficiente

1590

Vieta utiliza la palabra coeficiente y encuentra como recobrar los coeficientes a partir de las raíces, pero el rechazo a las raíces negativas e imaginarias le impide a Vieta comprender toda la generalidad de su descubrimiento.

“Logística Speciosa”

1591

Vieta publica su obra principal la “Lagoge” que llamo “logística Speciosa” para reemplazar la notación antigua y los casos específicos con coeficientes numéricos por la llamada “Logisitica numerosa” propone las vocales mayúsculas como incógnitas y las constantes mayúsculas como cantidades dadas o conocidas.

Thomas Harriot (1560-1621)

1610

Fue un astrónomo, matemático, etnógrafo y traductor inglés acepta las raíces negativas y completa las formulas de los coeficientes en términos de las raíces, mejora el simbolismo de Vieta y propone símbolos < y > su obra principal es “ Practica del Arte Analítica” .

John Napier

1614

Fue un matemático escose, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos guiándose por Bradwardine. También hizo común el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas.

Outhred

1620

Introduce la mejoría de los símbolos de las operaciones e introduce el símbolo de la multiplicación que hoy utilizamos como x, inventa reglas de cálculos imprime una dirección simbólica al álgebra inglesa, publica “Clavis Mathematica”.

Albert Girard (1595-1632)

1630

Sigue a Vieta acepta soluciones negativas e imaginarias, establece que el número de raíces de una ecuación debe ser igual al grado, desarrolla las formulas para sumas de potencias de las raíces en términos de los coeficientes que llamamos “Formulas de Newton” su obra es “La invención nueva en el álgebra”.

Rene Descartes (1596-1650)

1640

Fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los epígonos con luz propia en el umbral de la revolución científica. Propone que se utilicen las primeras letras del alfabeto para los datos conocidos, y las ultimas para las incógnitas, además de la línea cartesiana de la algebrización de la geometría la cual se impone en Francia y se desarrolla en Inglaterra.